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Jul 10, 2024

新発見の数学的「アインシュタイン」の形状がネバーを生み出す

アインシュタインと呼ばれる新しい図形が数学界を席巻しました。 ごつごつした帽子の形をしたタイルは、決して繰り返されないパターンで無限の平面を覆うことができます。 バスルームの床をクリエイティブにタイル張りするだけではありません

アインシュタインと呼ばれる新しい図形が数学界を席巻しました。 ごつごつした帽子の形をしたタイルは、決して繰り返されないパターンで無限の平面を覆うことができます。

バスルームの床をクリエイティブにタイル張りすることは、DIY 住宅リノベーターにとってストレスのかかる作業だけではありません。 数学の中でも最も難しい問題の一つでもあります。 何世紀にもわたって、専門家は、床、キッチンの跳ね上げ、または無限に大きな平面を隙間なく覆うことができるタイル形状の特別な特性を研究してきました。 具体的には、数学者は、繰り返しのデザインを作成せずに平面全体をカバーできるタイル形状に興味を持っています。 非周期タイリングと呼ばれるこれらの特殊なケースでは、タイリングを継続するためにコピーして貼り付けることができるパターンはありません。 モザイクをどのように切り刻んでも、各セクションはユニークになります。

これまで、非周期タイリングには常に少なくとも 2 つの異なる形状のタイルが必要でした。 多くの数学者はすでに、とらえどころのない「アインシュタイン」タイルと呼ばれる 1 つのタイルで解決策を見つける希望をあきらめていました。このタイルの名前の由来は、ドイツ語で「1 つの石」を意味します。

そして昨年 11 月、英国ヨークシャーに住む元印刷システム エンジニアのデビッド スミス氏が画期的な発見をしました。 彼は、アインシュタインのタイルである可能性があると信じた、13 角形のゴツゴツした形状を発見しました。 彼がオンタリオ州ウォータールー大学のコンピューター科学者クレイグ・カプランにそのことを話すと、カプランはすぐにこの形状の可能性を認識した。 カプラン氏は、ソフトウェア開発者のジョセフ・サミュエル・マイヤーズ氏とアーカンソー大学の数学者チャイム・グッドマン・ストラウス氏とともに、スミスの特異なタイルが確かに隙間や繰り返しなく平面を舗装することを証明した。 さらに良いことに、スミスはアインシュタイン タイルを 1 つだけではなく、無限の数も発見したことがわかりました。 チームは最近、プレプリント サーバー arXiv.org に投稿された論文で結果を報告しましたが、まだ査読されていません。

スペイン、グラナダにあるアルハンブラ宮殿の息を呑むようなモザイクの回廊を歩いたことのある人なら、飛行機にタイルを貼ることに伴う芸術性を知っているでしょう。 しかし、そのような美しさには答えのない疑問が隠されており、数学者のロバート・バーガーが1966年に述べたように、それは証明できないものです。

無限のサーフェスを無限の数の正方形のタイルでタイル表示したいとします。 ただし、ルールが 1 つある必要があります。それは、タイルのエッジには色があり、同じ色のエッジのみが接触できるということです。

無限のタイルを使用して、ピースを置き始めます。 うまくいきそうな戦略を見つけたものの、ある時点で行き詰まりに遭遇します。 利用可能なタイルでは埋めることができないギャップがあり、一致しないエッジを隣り合わせて配置する必要があります。 ゲームオーバー。

しかし、確かに、適切な色の組み合わせの適切なタイルがあれば、窮地から抜け出せたかもしれません。 たとえば、すべてのエッジが同じ色のタイルが 1 つだけ必要な場合があります。 数学者はあなたのゲームを見て、「最初に与えられた色のタイルの種類を見るだけで、行き詰まるかどうか判断できますか?」と尋ねるでしょう。 そうすれば間違いなく時間を大幅に節約できるでしょう。」

バーガー氏は、答えは「ノー」であると発見した。 隙間なく表面をカバーできるかどうか予測できない場合が常にあります。 原因は、非周期タイリングの予測不可能で反復しない性質です。 バーガー氏はその研究の中で、色パターンを繰り返すことなく平面を舗装できる、20,426 個の異なる色のタイルからなる信じられないほど大規模なセットを発見しました。 さらに良いことに、どのように並べても、そのタイルのセットで繰り返しパターンを形成することは物理的に不可能です。

この発見は、それ以来数学者たちを悩ませ続ける別の疑問を引き起こしました。それは、一緒になって非周期的テッセレーションを作成できるタイル形状の最小数はいくつなのかということです。

その後の数十年間で、数学者は非周期的なモザイクを作成できるタイルのセットがますます小さくなることを発見しました。 まず、バーガー氏は 104 個の異なるタイルを含むタイルを見つけました。 その後、1968 年にコンピューター科学者のドナルド クヌースが 92 の例を発見しました。その 3 年後、数学者のラファエル ロビンソンがタイル タイプが 6 つだけのバリエーションを発見しました。そして最終的に 1974 年に物理学者のロジャー ペンローズは、タイル 2 つだけで解決策を提示しました。